O que são os atractores estяaиhos

Os vários tipos de atractores

Um atractor A é um conjunto no espaço de fase para o qual tendem todas as trajectórias vizinhas e que descreve, por isso mesmo, o comportamento a longo prazo do sistema para todo um conjunto de condições iniciais diferentes.

• A é invariante (i.e. se o ponto inicial da órbita estiver em A, permanece lá).
• A tem uma bacia de atracção (região do espaço de fase contendo todas as trajectórias que tendem para A ).

Um sistema pode ter vários atractores. Um exemplo é o relógio de pêndulo, o qual acaba por parar, se pusermos o pêndulo a oscilar com uma amplitude demasiado pequena, e acaba por ficar a oscilar de forma estável, se a amplitude inicial for suficientemente grande. Os atractores dividem-se em quatro grandes grupos:

Pontos

Um atractor pontual é um ponto de equilíbrio para o qual tendem as órbitas vizinhas. Exemplo: todas as possíveis órbitas de um pêndulo amortecido pela resistência do ar:

À esquerda um pêndulo, ao centro a elongação em função do tempo para um pêndulo amortecido, à direita a correspondente trajectória no espaço de fase.

Ciclos limite

Um ciclo limite (estável) é uma trajectória fechada no espaço de fase para a qual as órbitas vizinhas se aproximam em espiral. Um exemplo de sistemas físicos com este tipo de atractor são os relógios de pêndulo. Se se largar o pêndulo com uma elongação superior à de equilíbrio, a amplitude de oscilação vai diminuindo até se atingir a amplitude de equilíbrio; por outro lado, se se largar o pêndulo com uma amplitude ligeiramente inferior à de equilíbrio, a amplitude de oscilação vai aumentado até atingir o valor de equilíbrio, porque a energia que vai sendo transferida para o pêndulo pela queda do peso neste caso é maior do que a energia dissipada pelo atrito.

1: âncora que oscila por acção do pêndulo,
2: extremidade livre,
3: extremidade actuando,
4: a roda de escape recebe o movimento através do carreto,
5: a roda dentada transmite o movimento aos ponteiros do relógio e à roda de escape,
6: o peso faz girar a roda dentada,
7: pêndulo oscilante.

À esquerda um relógio de pêndulo, à direita trajectórias no espaço de fase.

Toros limite:

Quando existem duas ou mais frequências em jogo, por exemplo quando se toma um sistema constituído por dois relógios de pêndulo de frequências ω₁ e ω₂, podemos ter comportamentos mais complexos, onde a órbita limite vive na superfície de um toro:

Latitude e longitude na superfície de um toro.

Tal como na superfície da terra, onde qualquer ponto fica determinado por dois ângulos: a longitude e a latitude, também qualquer ponto da superfície de um toro fica determinado pelo conhecimento de dois ângulos: u (longitude) e v (latitude). Podemos então representar o toro pelo plano enquadrado pelas variáveis u e v. Por outro lado os ângulos estão definidos a menos de voltas inteiras, pois representam pontos numa circunferência, por essa razão costuma-se retirar o maior número de voltas inteiras possível por forma a que o ângulo fique no intervalo [0,2π[. Em consequência de tal, os pares de ângulos do plano u v são representados pelos do quadrado [0,2π[×[0,2π[. Posto isto temos três formas de visualizar as trajectórias no toro. Por exemplo, se considerarmos a trajectória (u,v) = (ω₁t,ω₂t), onde ω₁ = 2 e ω₂ = 3 são as frequências dos pêndulos e t é o tempo, temos as três representações seguintes da trajectória no toro:

As três representações equivalentes do toro e de curvas sobre este.

Todos os pontos da rede do primeiro gráfico, cujas as coordenadas são (2kπ,2lπ), com k e l inteiros, representam a origem do toro. A linha enrolada no toro é representada no plano do primeiro gráfico por uma única linha recta, de declive ω₁ / ω₂. A trajectória sobre o toro regressa à origem do toro e fecha sobre si própria se e só se aquela recta no plano passar por algum outro ponto da rede, o que acontece se e somente se o declive da recta for um número racional. Ora os números racionais são extremamente escassos, tão escassos que a probabilidade de acertar 'ao calhas' num número racional dentro dos reais é zero! Quando o quociente das duas frequências é irracional, o caso típico, passamos a ter uma curva que se enrola densamente no toro sem nunca se fechar. Em vez de uma linha fechada, o conjunto invariante é agora todo o toro. Se as trajectórias vizinhas do toro invariante tendem para o toro, chamamos a este atractor um toro limite.

Ilustração da diferença entre os casos em que o quociente das duas frequências é um numero racional ou irracional. No 1º caso, a trajectória passa por U apenas sobre um número finito de segmentos de linha diferentes. No 2º, cada passagem por U dá-se sobre uma linha diferente.

Atractores estranhos

Um atractor no espaço de fase sobre o qual as órbitas nunca fecham mas se mantêm confinadas numa dada região do espaço é informalmente descrito como estranho se tiver dimensão não inteira ou se for caótico, i.e. se houver dependência sensível das condições iniciais. O sistema de Rössler, uma simplificação do sistema de Lorenz, é um dos sistemas mais simples que têm um atractor estranho. No applet da direita podemos ver uma porção do atractor de Rössler para os parâmetros especificados na legenda e podemos inclusivamente rodá-lo para ter uma ideia melhor da sua disposição no espaço. (Clique no botão esquerdo do rato e mova-o).

Em cima, à esquerda, o sistema de Rössler. À direita o applet mostrando uma porção do atractor para os parâmetros a = 0.2, b = 0.2 e c = 5.7. O paralelepípedo envolvente corresponde à região do espaço de coordenadas:
-12 < x < 12,
-12 < y < 12,
 -6 < z < 30.

Rössler interessou-se por este sistema como uma forma de modelar a cinética das reacções químicas fora do equilíbrio, das quais a reacção de Belousov-Zhabotinskii é um exemplo. O atractor de Rössler tem dimensão fractal 2.03.