Que tamanho tem um fractal?

Toda a gente sabe a diferença entre um segmento de recta e um quadrado:

Segmento de recta.Quadrado.

Um segmento de recta tem comprimento, enquanto um quadrado tem área. No entanto a situação já é menos clara quando consideramos conjuntos estranhos, nomeadamente aqueles que são construídos pela aplicação sucessiva de uma certa regra:

Curva de Koch.

Tapete de Sierpinski. Triângulo de Sierpinski.

A dimensão de homotetia

Quadrado dividido em quatro quadrados iguais.

Se tomarmos um quadrado e o ampliarmos à escala 2×, obtemos 4 quadrados do mesmo tamanho.

Quadrado dividido em nove quadrados iguais.

Enquanto que se o ampliarmos à escala 3×, obtemos 9 quadrados.

Se o ampliarmos à escala k×, obtemos N = k² quadrados do mesmo tamanho.

Em particular temos: logk N = 2.

Para um segmento de recta... logk N = 1, Um segumento de recta.O mesmo segmento de recta.

Triângulo equilátero.   Triângulo equilátero com aresta dupla da do triângulo anterior.          ... para um triângulo    logk N = 2,

... e para um cubo    logk N = 3 ... Cubos com arestas de comprimento 1, 2, 3 e 4.

Em geral, se ao ampliarmos à escala k um conjunto C obtemos um conjunto formado por N cópias do conjunto original, dizemos que a dimensão de homotetia é:

ds(C) = logk N.

Exemplo 1: A curva de Koch

Ao ampliar a curva de Koch pelo factor de escala de 3...

Ampliação da curva de Koch.

obtemos 4 cópias da curva original, pelo que a sua dimensão de homotetia é:

ds(C) = logk N = log3 4 ≈ 1,261...

Exemplo 2: O pente de Cantor

Ao ampliar o pente de Cantor pelo factor de escala de 3...

Ampliação do pente de Cantor.

obtemos 2 cópias do original, pelo que a sua dimensão de homotetia é:

ds(C) = logk N = log3 2 ≈ 0,630...

Exemplo 3: Os conjuntos de Sierpinski

O mesmo tipo de raciocínio permite mostrar que:

Ampliação do tapete de Sierpinski.

ds(C) = logk N = log3 8 ≈ 1,892...

Ampliação do triângulo de Sierpinski.

ds(C) = logk N = log2 3 ≈ 1,584...

A dimensão de Hausdorff-Besicovitch

Obviamente só podemos calcular a dimensão de homotetia quando o conjunto é um fractal geométrico, i.e. quando o conjunto é auto-semelhante em todas as escalas. No entanto os fractais naturais são apenas estatisticamente auto-semelhantes... A dimensão de Hausdorff-Besicovitch permite cortar este nó górdio; vejamos informalmente como se calcula:

Se pegarmos numa recta e a recobrirmos com caixas de tamanho cada vez mais pequeno,

Recobrimento de um segmento de recta com caixas cada vez mais pequenas.

o número de caixas necessárias para cobrir a recta e o seu respectivo tamanho estão relacionados pela equação:

(1)

N(r) = (1/r)d, com d = 1.

Por outro lado se pegarmos num quadrado e o recobrirmos com caixas de tamanho cada vez mais pequeno,

Recobrimento de um quadrado com caixas cada vez mais pequenas.

o número de caixas necessárias para cobrir o quadrado e o seu respectivo tamanho estão relacionados pela equação:

(2)

N(r) = (1/r)d, com d = 2.

Toda a gente sabe que os triângulos têm dimensão 2. Vejamos o que acontece aplicando o método da contagem de caixas ao seguinte triângulo:

Recobrimento de um triângulo com caixas cada vez mais pequenas.

Neste caso obtemos a seguinte equação:

(3)

N(1/n) = n(n+1)/2 ~ n²/2, n → ∞...

As equações (1), (2) e (3) indicam que a dimensão é o expoente da lei de potência assimptótica, dado pelo limite:

\lim_{r \to 0}\frac{\log N(r)}{\log r}

Vejamos se as dimensões de homotetia que calculámos para o pente de Cantor, a curva de Koch e para os conjuntos de Sierpinski coincidem com a dimensão de Hausdorff-Besicovitch.

Exemplo 1: a curva de Koch

Recobrimento da curva de Koch com caixas cada vez mais pequenas. .
N(1/3) = 3
N(1/9) = N((1/3)2) = 12 = 3×4
N(1/27) = N((1/3)3) = 48 = 3×42
e em geral
N((1/3)n) = 3×4n-1

d = \lim_{n \to \infty}\frac{\log(3 \times 4^{n-1})}{\log 3^n} = \log_3{4}

Exemplo 2: o pente de Cantor

Recobrimento do pente de Cantor com caixas cada vez mais pequenas.
N(1/3) = 2
N(1/9) = N((1/3)2) = 4 = 22
N(1/27) = N((1/3)3) = 8 = 23
e em geral
N((1/3)n) = 2n.

d = \lim_{n \to \infty}\frac{\log 2^n}{\log 3^n} = \log_3{2}

Exemplo 3: os conjuntos de Sierpinski

Recobrimento do triângulo de Sierpinski com caixas cada vez mais pequenas.
N(1) = 1
N(1/2) = 3
N(1/4) = N((1/2)2) = 9 = 32
N(1/8) = N((1/2)3) = 27 = 33
e em geral
N((1/2)n) = 3n.

d = \lim_{n \to \infty}\frac{\log 3^n}{\log 2^n} = \log_2{3}

Recobrimento do tapete de Sierpinski com caixas cada vez mais pequenas.
N(1) = 1
N(1/3) = 8
N(1/9) = N((1/3)2) = 64 = 82
N(1/27) = N((1/3)3) = 256 = 83
e em geral
N((1/3)n) = 8n.

d = \lim_{n \to \infty}\frac{\log 8^n}{\log 3^n} = \log_3{8}

Os exemplos anteriores mostram que os dois conceitos coincidem no caso dos fractais geométricos, basta cobrir cada uma das N cópias obtidas pela ampliação associada ao factor de escala k com uma caixa, tal como fizemos nos exemplos 2 e 3 e como poderíamos ter feito no exemplo 1.