O que são os atractores estяaиhos

A azenha de Lorenz

Querendo Lorenz mostrar a dependência sensível das condições iniciais de uma forma tão convincente quanto possível, resolveu simplificar ainda mais o seu sistema de equações e concentrou-se exclusivamente no movimento de convecção do ar na atmosfera. O seu modelo simplificado representa o movimento do ar entre duas placas paralelas, onde a placa de baixo está mais quente que a de cima, conforme esquematizado na figura,

Células de convecção.

e é governado pelo seguinte sistema de equações diferenciais:

onde as funções x(t), y(t) e z(t) contêm toda a informação sobre o estado do sistema, ou seja, sobre a distribuição de temperaturas e de velocidades do ar.

O mesmo sistema de equações diferenciais permite descrever a evolução de um sistema aparentemente muito diferente, mas mais fácil de imaginar, a azenha representada na figura. Neste caso, as variáveis y e z representam a distribuição de água nos alcatruzes (em vez da distribuição de temperaturas no ar), que dá origem ao movimento, e a variável x representa a velocidade de rotação da azenha (em vez da velocidade de escoamento do ar). Ambos os sistemas são forçados (pela diferença de temperatura que é mantida entre as placas, num caso, e pelo fluxo de água que alimenta a azenha, no outro), e ambos dissipam energia (o ar perde calor, os alcatruzes da azenha perdem água). Em ambos os casos, o comportamento do sistema depende da quantidade de energia fornecida.

A água enche os alcatruzes a uma velocidade constante. Se o fluxo da água for lento, o alcatruz do cimo nunca chega a encher o suficiente para ultrapassar o atrito e a azenha mantém-se imóvel (o mesmo acontece num líquido sujeito a aquecimento, se o fluxo de calor fornecido for demasiado pequeno, o líquido permanecerá em repouso devido a sua viscosidade).

Se o fluxo for maior, o peso do alcatruz do cimo coloca a azenha em movimento (esquerda). A azenha pode estabilizar num movimento de rotação contínuo (centro). Mas se o fluxo da água for ainda maior (direita), o movimento pode tornar-se caótico por causa dos efeitos não-lineares, pois até que ponto os alcatruzes que passam sob a água se enchem depende da velocidade de rotação da azenha. Se esta roda rapidamente, os alcatruzes terão pouco tempo para se encher de água (de igual modo, o líquido submetido a um movimento de convecção muito rápido tem pouco tempo para absorver calor). Além disso, se a azenha rodar rapidamente, os alcatruzes podem começar o movimento ascendente antes de terem tempo para se esvaziarem e em consequência de tal o peso destes pode travar a rotação da azenha e, inclusivamente, invertê-la.

De facto, o sentido da rotação da azenha pode inverter-se várias vezes, sem nunca alcançar um estado estável ou seguir um padrão de algum modo previsível, como se ilustra no seguinte vídeo. A azenha, apesar de ser um sistema extremamente simples, mostra-se capaz de um comportamento surpreendentemente complexo.

Munido do seu modelo simplificado da atmosfera, Lorenz substituiu os parâmetros σ, r e b respectivamente pelos valores: 10, 28 e 8/3. Usando um computador para obter as soluções verificou que o seu modelo mostrava um comportamento também inesperadamente complicado. Após um curto intervalo de tempo, a evolução do sistema no espaço de fases segue o objecto chamado atractor (de Lorenz), porque é um conjunto de pontos para o qual tende a trajectória de uma condição inicial qualquer. Geometricamente, este conjunto é um fractal de dimensão ligeiramente superior a 2. A trajectória que representa a evolução do sistema no espaço de fase nunca se repete, mas enovela-se sobre si própria um número infinito de vezes, como se ilustra no applet seguinte. Para termos uma ideia da sua organização espacial, podemos rodá-la clicando com o botão esquerdo do rato e movendo-o em seguida.

Este sistema apresenta igualmente uma dependência sensível das condições iniciais. Podemos observa-lo no seguinte vídeo.