O que são os atractores estяaиhos

Os atractores em sistemas discretos

A evolução no tempo de sistemas físicos, químicos, biológicos e sociais pode ser modelada matematicamente através de equações diferenciais. Tivemos já oportunidade de ver alguns desses modelos na página anterior. Porém em muitos casos, um modelo é naturalmente formulado considerando apenas instantes discretos do tempo, separados por intervalos constantes. Nestes casos, os modelos matemáticos são regras de iteração, em vez de equações diferenciais. Um bom exemplo é outra vez a dinâmica de populações, em que faz sentido querer saber apenas os sucessivos valores da população nos instantes T₁, T₂, ..., T_n, separados pelo intervalo de tempo típico de uma geração.

O conceito de atractor tem uma generalização natural ao caso discreto. Neste caso seguimos directamente as órbitas das condições iniciais para os modelos que estamos interessados em estudar, e usamos a mesma terminologia (pontos fixos, órbitas periódicas e atractores estranhos), para classificar os conjuntos para os quais as trajectórias tendem.

O atractor de Hénon é um dos exemplos mais conhecidos de atractores estranhos em sistemas discretos. Este é o conjunto dos pontos do plano para o qual tendem as órbitas limitadas da regra de iteração

x_n+1 = y_{n + 1} - a x_n²
y_n+1 = b x_n

com a = 1.4 e b = 0.3. Este atractor é um fractal de dimensão 1.25 ± 0.02. Na figura seguinte podemos ver quatro ampliações deste atractor, carregando em anterior e seguinte.

anterior    seguinte    ampliação =

x