Dinâmica não linear e caos
A constante de Feigenbaum
Deve-se a Feigenbaum a descoberta em 1975 de uma regularidade inesperada na cascata de duplicações do período da equação logística. Ao usar uma calculadora científica (um privilégio só para alguns no início dos anos 70) para tentar adivinhar onde ocorria cada duplicação de período, descobriu que os valores do parâmetro associados às bifurcações convergem geometricamente, tal como a distância entre postes telefónicos num desenho em perspectiva. A duplicação de períodos não só se dá em pontos cada vez mais próximos, como a razão das distâncias entre pontos sucessivos se aproxima de um valor constante: o δ de Feigenbaum.
Para sua surpresa, Feigenbaum descobriu que usando em vez da logística outros tipos de funções com a mesma forma qualitativa (essas funções são chamadas unimodais, o nome dado às funções lisas que têm um máximo, e a função f(x) = a.sen(πx) é um exemplo), obtinha também uma cascata de duplicações de período. Mais surpreendente ainda era o facto dos quocientes (λk - λk - 1) / (λk + 1 - λk) convergirem também para a constante de Feigenbaum!
A universalidade da cascata de bifurcações é um indício da generalidade com que ocorre este caminho para o caos. Vejamos alguns exemplos de cascatas em sistemas 'reais'.
A torneira do lava-loiça
Um dos locais mais insuspeitos onde podemos observar a duplicação do período é na torneira do lava-loiça. Para tal, basta ir à cozinha e abrir apenas ligeiramente a torneira para que se possa ouvir as gotas a cair no lava-loiça em intervalos de tempo iguais:
ping ping ping ping ping...
De seguida abre-se a torneira lentamente até que o padrão se torne caótico. Ligeiramente antes do começo do caos, se for suficientemente cuidadoso e paciente, deverá ouvir a primeira duplicação do período:
ping ping ping ping ping ping ping ping ping ping...
e se tiver sorte a segunda duplicação do período. A maçaneta da torneira, que controla o fluxo da água, joga o papel do parâmetro a da equação logística.
O atractor de Lorenz
Consideremos a projecção plana do atractor de Lorenz representada na figura. Lorenz notou que, aparentemente, a trajectória abandona uma das espirais apenas quando se afasta do centro da espiral mais do que uma certa distancia, e que o valor máximo da distancia ao centro num ciclo parecia determinar o valor máximo dessa distancia no ciclo seguinte.
Uma maneira de medir a distancia ao centro da espiral em cada ciclo e considerar os sucessivos máximos zn da coordenada z.
A ideia de Lorenz é que zn deveria permitir prever zn+1. Para tal obteve computacionalmente a coordenada z em função do tempo e representou num gráfico zn+1 versus zn, o qual tem o aspecto ilustrado à direita...
O gráfico obtido é uma "curva" (na realidade é um fractal de dimensão muito próxima de 1) e não uma nuvem de pontos, o que significa que, como Lorenz intuiu, o valor de cada máximo da coordenada z fica determinado pelo valor do máximo anterior.
Note-se que esta "curva" tem um único máximo, tal como os exemplos de regras de iteração que vimos antes. Não é pois de admirar o aparecimento de uma cascata de duplicações do período quando se toma a coordenada z e se varia um dos parâmetros do sistema, r por exemplo, como pode ser visto no seguinte gráfico:
O atractor de Rössler
O mesmo tipo de ideias que Lorenz usou para estudar o atractor de Lorenz, podem ser aplicadas ao estudo do atractor de Rössler. Por exemplo se tomarmos os máximos locais da coordenada x(t) e construirmos o mapa de Lorenz para os valores a = b = 0.2 e c = 5 obtemos uma bela curva com um máximo (na verdade é um fractal de dimensão muito próxima de 1) que pode ser admirada na figura da direita.
Como estaríamos à espera, variando um dos parâmetros, c por exemplo, ocorrem duplicações de período, que podem ser vistas na imagem seguinte:
assim como a cascata de duplicação do período:
O pêndulo forçado e amortecido
Sistemas mecânicos muito simples podem exibir comportamento caótico, desde que as equações que os regem sejam não lineares e o seu espaço de fase tenha dimensão igual ou superior a 3. Um exemplo muito estudado é o pêndulo, não o pêndulo simples sem atrito que todos conhecemos, que tem um espaço de fase de dimensão 2 e comportamento regular, mas o pêndulo amortecido com forçamento, ou com oscilação do ponto de suspensão que dão origem a dois novos termos na equação do movimento (g – a amplitude de forçamento e ω – a frequência). Esta nova equação admite uma grande riqueza de órbitas desde as periódicas às caóticas, passando por várias cascatas de duplicação do período, conforme ilustrado na seguinte figura:
Outro pêndulo com regime caótico é o pêndulo duplo. Neste vídeo, feito pelo departamento de Física da Universidade de Cornell nos E.U.A., pode observar uma demonstração deste pêndulo em laboratório. Chama-se a atenção para a possibilidade de regimes regulares e caóticos conforme a condição inicial. Este é um exemplo de caos conservativo (se desprezarmos o atrito do ar a energia conserva-se).
Outros exemplos de caos conservativo encontram-se no que antigamente era o paradigma da ordem no Universo – O sistema solar. A investigação neste campo, feita muitas vezes com o auxílio dos computadores mais modernos, tem produzido resultados surpreendentes que nos revelam toda a riqueza da interacção gravítica entre os corpos do sistema solar. Camuflado na aparente ordem que observamos à escala de tempo da vida humana, o caos aparece como resultado das interacções gravíticas a mais de dois corpos. Veja alguns exemplos em caos lento e caos rápido no sistema solar.
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