Dinâmica não linear e caos

Bifurcações: Comportamento global não linear

Esquema de um diagrama de bifurcações.

Na dinâmica de populações não linear, vimos como, à medida que aumentamos o valor do parâmetro da aplicação logística, o comportamento qualitativo do sistema muda. Ilustrámos com alguns passos um caminho dinâmico para o caos, a cascata de duplicações de período que dá origem a órbitas estáveis de períodos 2, 4, 8, ..., e todos os períodos que são potências de 2. Aos valores do parâmetro para os quais o comportamento do sistema muda qualitativamente chamamos pontos de bifurcação.

Uma descrição global do sistema envolve o conhecimento de todos os comportamentos possíveis para os vários valores do parâmetro, e essa descrição resume-se recorrendo a um diagrama de bifurcação.

Um diagrama de bifurcação é a representação gráfica do comportamento qualitativo das órbitas para cada valor do parâmetro a, cf. figura da direita. A maneira de o construir é muito simples. Construímos um gráfico em que o eixo horizontal corresponde aos valores de a e o eixo vertical aos valores de x. Para cada valor de a, escolhe-se ao acaso uma condição inicial e gera-se a órbita correspondente, iterando a aplicação logística. Um certo número dos primeiros pontos da órbita é descartado, para dar tempo a que a órbita evolua para o seu comportamento final, quer este seja uma órbita periódica ou caótica - chama-se a isto eliminar o transiente. Em seguida começamos a marcar no gráfico, para esse valor de a, os valores de x assumidos pela órbita ao longo de um número bastante grande de iterações. Por exemplo, no intervalo de valores de a em que as órbitas tendem para um ponto fixo só aparece uma linha no diagrama, que correspondente ao valor de x no ponto fixo. Podemos observar também o que acontece à volta de a = 3, onde o atractor passa a ser uma órbita de período 2, e a linha do diagrama bifurca em duas linhas, que correspondem aos dois valores de x sobre essa órbita. Perto de a = 3 esses dois pontos estão muito próximos um do outro, e do ponto fixo de onde a órbita nasceu, mas à medida que a aumenta vão-se separando um do outro, até que surge uma nova bifurcação de duplicação de período.

Diagrama de bifurcações

Vamos analisar a estrutura complexa do diagrama de bifurcação da aplicação logística, usando o zoom do applet para observar ao pormenor diferentes regiões do diagrama. Para isso, usando o rato, faça janelas no applet do tamanho do zoom que desejar. Repare como os valores de a se ajustam à nova escala.

• Quando a está entre 2 e 3,como dissemos, só um ponto é assinalado no gráfico, que corresponde ao ponto fixo estável que encontrámos no primeiro degrau para o caos. Este ponto traça uma linha à medida que o parâmetro a varia, e a posição do ponto fixo se desloca.
• Quando a = 3, ocorre uma bifurcação e a linha divide-se em duas que rapidamente identificamos com os dois pontos do atractor de período 2 que vem substituir o ponto fixo estável.
• Aumentando um pouco mais o parâmetro cada uma das linhas volta a dividir-se noutras duas e o obtemos um total de 4 pontos por cada a, correspondentes ao atractor de período 4. Este mecanismo repete-se ao longo de toda a cascata e podemos observar que o intervalo de valores de a que corresponde a um determinado atractor vai ficando cada vez mais pequeno, quanto maior é o período.
• Quando a = 3.57, já ocorreram infinitas bifurcações, em intervalos cada vez mais pequenos. A partir deste valor o atractor de órbitas é complexo e exibe formas não triviais. Repare-se na mancha de pontos densa, onde não conseguimos identificar órbitas de períodos pequenos. Esta mancha aumenta no intervalo entre 3.57 e 4. Podemos detectar também janelas de órbitas periódicas estáveis de períodos arbitrários, onde subitamente o sistema salta do caos para a ordem. Para a = 3.835 o atractor é uma órbita estável de período 3. Destas janelas, faça o zoom, formam-se novas cascatas e o caos aparece de novo.
• Quando a = 4 o atractor é caótico e cobre a totalidade do intervalo de x que vai de 0 a 1.

Utilize o applet para explorar a auto-semelhança da estrutura do diagrama de bifurcações. Experimente fazer zoom em torno das janelas de comportamento regular, e repare como o padrão global parece repetir-se indefinidamente a todas as escalas.

O feto é um exemplo de uma estrutura fractal. Cada uma das folhas que o compõe é constituída por outras folhas mais pequenas com uma forma semelhante.