Dinâmica não linear e caos

Dinâmica de populações não linear

Vamos continuar a explorar a dinâmica de populações procurando melhorar o nosso modelo com uma regra de transformação mais realista:

onde agora o factor de crescimento f(x)/x pode variar desde um valor máximo, a, até 0, quando a população atinge o valor 1 (estamos deste modo a introduzir unidades normalizadas, em que x = 1 corresponde à população máxima que faz sentido considerar). Isto traduz a ideia de que a abundância de recursos por indivíduo se reflecte no balanço entre nascimentos e mortes.

Este modelo chama-se aplicação logística e corresponde a uma regra de iteração que é não linear: o gráfico da regra logística é uma parábola com a concavidade virada para baixo A dinâmica processa-se da mesma maneira: partindo de uma condição inicial x₀, podemos calcular a população de qualquer geração iterando a regra de transformação f( ). Tal como no modelo linear, o valor do parâmetro a determina o comportamento qualitativo das órbitas do sistema, mas neste caso esse comportamento é muito mais variado e complexo.

Vamos explorar o applet que simula este modelo e veremos como, à medida que variarmos o parâmetro a entre 1 e 4, o comportamento das órbitas irá do mais simples possível até ao caos. Para cada caso experimente várias condições iniciais, uma vez que aquilo que nos interessa é o comportamento genérico das órbitas.

Qual o destino da generalidade das órbitas?

1º Degrau para o caos

1 < a < 3
Transiente = 0,
Número de iterações a desenhar = 30.
Número de condições iniciais = 1.

Qual o destino de uma condição inicial arbitrária? Para a neste intervalo, existe um ponto para o qual tendem as órbitas de todas as condições iniciais. Esse ponto está na intersecção do gráfico de f(x) com a linha y = x, a diagonal do quadrado. Portanto, é um ponto que verifica a igualdade f(x) = x. Do ponto de vista do feedback, esse é um ponto que a regra de transformação deixa invariante, e por isso se chama um ponto fixo do sistema. Para este intervalo de valores do parâmetro a, dizemos que o ponto fixo é o atractor do sistema, porque atrai todas as órbitas. Podemos então dizer, que neste regime, independentemente do valor inicial da população, após algumas gerações (passado o transiente), a população estabiliza num valor bem determinado.

2º Degrau para o caos

3 < a < 3.44
Transiente = 0.
Número de iterações a desenhar = 30.
Número de condições iniciais = 1.

Para a neste intervalo de valores, a evolução final das órbitas continua a ser independente da condição inicial escolhida, mas é qualitativamente diferente. O comportamento para valores grandes do tempo n corresponde a um ciclo em que a órbita toma dois valores diferentes em instantes alternados. A uma órbita com esta propriedade chamamos órbita periódica de período dois. Repare-se que o ponto fixo ainda existe, mas as órbitas genéricas já não tendem para esse ponto. Agora, quase todas as condições iniciais se aproximam da órbita de período dois, que é o atractor do sistema para estes valores de a.

3º Degrau para o caos

a = 3.5
Transiente = 0.
Número de iterações a desenhar = 30.
Número de condições iniciais = 1.

Para um intervalo muito curto de valores de a onde está incluído a = 3.5 o atractor do sistema deixou de ser uma órbita de período 2 e passou a ser uma órbita de período 4. Subitamente o destino da maior parte das condições iniciais é um ciclo de 4 pontos. O que acontece se continuarmos a aumentar o parâmetro? Pode tentar encontrar no applet, de um período 4, se continuarmos a aumentar a em passos cada vez mais pequenos, o sistema passa por um atractor de período 8, depois 16, 32,..., e assim em diante. O sistema admite órbitas de todos os períodos que são uma potência de 2. No entanto, à medida o período vai duplicando, o intervalo de valores de a, onde essas órbitas vivem como atractores estáveis, vai sendo cada vez mais curto. Tão curto que para a = 3.6 o sistema já passou por todos os períodos daquela forma, infinitos! Mas e se continuarmos a aumentar a, o que acontece depois?

Elevador para o caos

a = 4
Transiente = 0.
Número de iterações a desenhar = 50.
Número de condições iniciais = 1.

Consegue identificar algum período na órbita? Impossível, para este valor de a o sistema é caótico. Isto significa que as órbitas já não tendem para um atractor periódico e evoluem de uma maneira irregular, visitando todo o intervalo de valores de x. Neste regime, uma condição inicial iterada nunca visita o mesmo ponto duas vezes e não existe uma regra que possa substituir o cálculo das sucessivas iteradas para achar, mesmo só aproximadamente, o valor da população numa dada geração. Uma órbita caótica comporta-se como uma sucessão aleatória de números.

Para 3.6 < a < 4 surgem valores de a para os quais as órbitas são caóticas, e o comportamento do sistema é em geral muito complicado. Experimente no applet outros valores de a. Contudo também aparecem pequenos intervalos com órbitas estáveis de todos os períodos. Experimente no applet a = 3.83. Verá que neste caso o atractor do sistema é uma órbita de período 3.