Dinâmica não linear e caos

Dinâmica de populações linear

Vamos agora estudar em mais detalhe a evolução da população de uma espécie animal ao longo de sucessivas gerações usando uma regra linear. Como dissemos, x_n representa a população da geração n. Através da dinâmica iterativa definida por x_n+1 = f(x_n) podemos calcular deterministicamente o valor da população para qualquer geração no futuro. Os sucessivos valores de x_n obtidos a partir de uma determinada condição inicial definem uma órbita do sistema, a órbita dessa condição inicial.

Para o modelo linear, a regra que vai determinar a evolução do sistema é simplesmente:

f( x ) = a.x

onde a é uma constante, um parâmetro que resume o balanço entre a taxa de natalidade e a de mortalidade da população.

Utilizando o applet que nos permite simular a dinâmica iterativa para o modelo em causa, vamos analisar quais os destinos possíveis desta espécie que este modelo prevê. Considere os seguintes casos e para cada um deles experimente várias condições iniciais:

• caso 1: a < 1
• caso 2: a > 1

Para cada um deles, qual o comportamento genérico das órbitas?

• a < 1: Qualquer órbita tende para zero. A população decresce até à extinção.
• a > 1: Qualquer órbita diverge. A população cresce para infinito.

A (excessiva) simplicidade do modelo é evidente. Para qualquer condição inicial o futuro das órbitas depende apenas do valor de a escolhido e só há dois regimes possíveis, crescimento ilimitado ou extinção. Em geral, aos valores dos parâmetros em que o comportamento global de um sistema muda chamamos pontos de bifurcação. Este modelo linear tem uma bifurcação em a = 1.

No entanto, é pouco credível que ao longo de várias gerações uma população cresça ou diminua sempre da mesma maneira. Por experiência sabemos que isso não acontece. Factores como a limitação dos recursos disponíveis, quando a população é elevada, que geram competição por alimento, ou a abundância destes quando a população é baixa, e que levam a gerações seguintes mais numerosas, estão excluídos do modelo. Precisamos de um modelo mais realista que possa incluir competição e uma maneira de o fazer é admitir que o factor que determina a população de uma geração em função da anterior, em vez de ser constante, deve depender ele próprio do valor da população anterior.

Como veremos, a versão mais simples deste modelo corresponde à parábola que já encontrámos como exemplo de regra de transformação não linear.