O pente de Cantor

O pente de Cantor é o conjunto resultante da remoção sucessiva do terço central de um segmento de recta. No applet seguinte podemos visualizar os primeiros cinco passos da sua construção carregando nos botões "previous step" e "next step".

Este conjunto tem algumas propriedades curiosas:

  • Tem comprimento zero, pois a cada passo o comprimento do conjunto é 2/3 do comprimento do passo anterior. Por exemplo se o comprimento inicial for 1, ao fim do primeiro passo é 2/3, ao fim do segundo passo é 2/3 × 2/3, ao fim do terceiro passo é 2/3 × 2/3 × 2/3, pelo que o comprimento, no limite de um número infinito de passos, é 2/3 × 2/3 × 2/3 × ... = 0.
  • É infinito, pois os extremos dos segmentos de recta nunca são removidos e em cada passo o número de extremos é multiplicado por 2.
  • É auto-semelhante, i.e. cada parte é uma cópia de si própria, como pode ser visto na seguinte animação:
Animação do pente de Cantor.