Fractais, esses conjuntos estяaиhos e ubíquos

A iteração destas linhas traz ouro;
A inscrição deste círculo no chão origina furacões, tempestades, trovões e relâmpagos.

Marlowe, -Dr. Faustus

Fractais [do latim fractus, fracção, quebrado] são formas em que as partes são semelhantes ao todo.

  • Quando o todo é uma ampliação exacta de uma parte, dizemos que o fractal é geométrico. Estes objectos foram inventados no início do séc. XX para mostrar que existiam objectos matemáticos interessantes, para além das curvas e superfícies regulares da geometria tradicional. Entres estes encontram-se o pente de Cantor, a curva do floco de neve, o triângulo de Sierpinski e o tapete de Sierpinski, os quais têm propriedades no mínimo exóticas.
Auto-semelhança num fractal geométrico.
  • Quando o todo é estatisticamente semelhante a uma ampliação de uma parte dizemos que o fractal é aleatório. Estes fractais, também chamados naturais, são bastante abundantes e poderemos admirar alguns deles ao longo deste ensaio.
Auto-semelhaça nas folhas de um feto.
  • Os exemplos anteriores referem-se a estruturas fractais no espaço, porém também existem fractais no tempo. Neste caso, o que se disse para diferentes tamanhos vale para diferentes escalas de resolução temporal. Os exemplos mais comuns são os de algumas séries temporais, tais como as cotações de activos financeiros, ou as cheias do rio Nilo.
Nilómetro.
Gráfico das alturas mínima e máxima do Nilo em metros.
Esquerda: Nilómetro (sistema utilizado pelos antigos egípcios para medir a altura das águas do Nilo para estabelecer os impostos a pagar). Canto superior direito altura mínima do Nilo em metros, canto inferior direito altura máxima do Nilo em metros. Dados referentes ao período 640-1452 (813 anos).