A curva de Koch e a curva do floco de neve

A curva do floco de neve (outro exemplo de conjunto estranho) é construída a partir de um triângulo equilátero aplicando sucessivamente as seguintes regras:

  1. divide-se cada lado em três segmentos de recta de igual comprimento,
  2. desenha-se um triângulo equilátero tendo como base o segmento do meio,
  3. remove-se o segmento da base do triângulo construído no ponto 2.

No applet seguinte podemos ver os oito primeiros passos da construção da curva do floco de neve, carregando nos botões "previous stage" e "next stage".

A curva do floco de neve é constituída por três curvas de Koch, cada uma das quais corresponde a um dos lados do triângulo equilátero de partida. Esta curva tem algumas propriedades notáveis:

  • Tem comprimento infinito, pois a cada passo o comprimento da curva é 4/3 do comprimento do passo anterior. Por exemplo se o comprimento inicial for 1, ao fim do primeiro passo é 4/3, ao fim do segundo passo é 4/3 × 4/3, ao fim do terceiro passo é 4/3 × 4/3 × 4/3, pelo que, no limite de um número infinito de passos, o comprimento é 4/3 × 4/3 × 4/3 × ... = ∞.
  • Apesar da curva ter comprimento infinito delimita uma área finita, que obviamente é inferior à área do triângulo seguinte:
    Triângulo delimitando três curvas de Koch.
    o qual contém três curvas de Koch, uma grande (vermelho) e duas mais pequenas (azul). Usando este facto podemos calcular a área delimitada pela curva de Koch de uma forma bastante simples:
    1. Se L for o comprimento da base do triângulo, a sua altura é a altura de um triângulo equilátero de lado L/3 ou seja, pelo teorema de Pitágoras, L√3/6, e portanto a sua área é L²√3/12.
    2. O comprimento dos lados esquerdo e direito do triângulo é, usando outra vez o teorema de Pitágoras, L√3/3.
    3. Se A1 e A2 designam as áreas delimitadas pelas curvas de Koch grande e pequena, então A2 / A1 = ((L√3/3) / L)² = 1/3.
    4. Como A1 + 2A2 = L²√3/12, logo A1 = L²√3/20.
  • É auto-semelhante, i.e. cada parte é uma cópia de si própria, como pode ser visto na seguinte animação:
Animação que mostra a auto-semelhança da curva de Koch.