Caos no sistema solar

Ressonâncias no sistema solar

Uma ressonância pode ser definida como uma relação de inteiros entre os períodos de duas ou mais grandezas. Por exemplo, o facto de a Lua ter sempre a mesma face voltada para a Terra deve-se ao seu período orbital ser igual ao seu período de rotação, isto é, estão numa ressonância 1:1. Um outro exemplo observa-se em Júpiter e Saturno, que estão perto de uma ressonância orbital 5:2, porque no tempo que Júpiter demora a dar cinco voltas ao Sol, Saturno dá aproximadamente duas voltas. Nas luas de Júpiter, Io dá uma volta ao planeta em metade do tempo que Europa demora a executar esse movimento: Estão numa ressonância 2:1; Por sua vez Europa tem também uma ressonância 2:1 com o satélite seguinte, Ganimedes. A intrincada dinâmica destes três satélites foi estudada por Laplace. De facto, estes são apenas alguns exemplos. As ressonâncias são muito comuns no sistema solar e são provocadas na generalidade dos casos pela dissipação associada às forças de maré na interacção gravitacional entre os planetas e as suas luas.

Nas duas figuras temos duas configurações possíveis para a ressonância orbital 2:1 entre um asteróide da cintura (órbita elíptica) e Júpiter (órbita circular). No primeiro caso, 1ª figura, no instante inicial o asteróide e Júpiter estão em conjunção no periélio das suas órbitas; Ao fim de um quarto do período de Júpiter, o asteróide está no afélio da sua órbita, o ponto em que esta mais se aproxima da órbita de Júpiter, mas Júpiter está longe; Ao fim de metade do período orbital de Júpiter, o asteróide volta ao seu periélio, agora com Júpiter do lado oposto do Sol e ao fim de 3/4 desse período o asteróide regressa à posição de máxima proximidade com a órbita de Júpiter, mas mais uma vez também neste caso Júpiter está longe. Isto corresponde a uma configuração estável desta ressonância, porque, embora exista a possibilidade de encontros próximos entre Júpiter e o asteróide, esses encontros são evitados pelo mecanismo da ressonância e as perturbações dominantes compensam-se ao longo do tempo.

Pelo contrário, no segundo caso, 2ª figura, no instante inicial o asteróide e Júpiter estão em conjunção no afélio da sua órbita, e os encontros próximos, envolvendo grandes perturbações da órbita do asteróide, sucedem-se em cada período orbital de Júpiter. Este segundo caso corresponde a uma configuração instável da ressonância 2:1.

Estes dois casos podem ser comparados com os pontos de equilíbrio estável e instável de um pêndulo. A configuração estável da ressonância corresponde ao ponto de equilíbrio estável, na vertical abaixo do ponto de suspensão; A ressonância instável corresponde ao ponto de equilíbrio instável do pêndulo, na vertical e acima do ponto de suspensão, da qual o pêndulo se afasta à mínima perturbação. Esta analogia é mais profunda do que o que é sugerido apenas por esta comparação. De facto, no modelo mais simples, as equações do movimento de um asteróide em ressonância com Júpiter são idênticas à equação de um pêndulo. O caos pode aparecer no pêndulo se fizermos oscilar o seu ponto de suspensão, o que corresponde no sistema Sol/Júpiter/asteróide a admitirmos a órbita de Júpiter com excentricidade não nula.

O applet em baixo simula um pêndulo com oscilação do seu ponto de suspensão. Podemos escolher o tamanho do fio, o estado inicial do pêndulo, isto é, a posição e a velocidade angular, a frequência e a amplitude de oscilação do ponto de suspensão. Experimente correr o applet, experimentando em particular os valores dos parâmetros sugeridos.

No caso 1 o pêndulo é largado na vizinhança de um ponto estável e parece claro que a perturbação não altera significativamente o comportamento do sistema. No caso 2, o pêndulo é largado na vizinhança de um ponto instável e após um curto intervalo de tempo podemos observar um comportamento muito diferente do do pêndulo não perturbado. Em particular, as oscilações são irregulares e o número de 'voltas' consecutivas que o pêndulo executa num ou noutro sentido parece impossível de prever.