Fractais

Introdução

Neste módulo pretende-se gerar e analisar figuras fractais.
Um fractal é um objecto que possui uma estrutura não trivial em toda as escalas. Um objecto que tenha a propriedade de auto-semelhança exacta mediante rescalamento, como os exemplos de fractais geométricos gerados pelo primeiro conjunto de programas que utilizaremos, é um fractal. Outros fractais têm esta propriedade apenas de uma maneira aproximada ou estatística. Nestes casos, uma porção aumentada do objecto total tem a mesma estrutura ou uma distribuição estatística similar mas não é uma réplica exacta deste.
Muitas formas na natureza são aproximadas por esta geometria. Por exemplo, podemos pensar numa árvore como um objecto que tem uma estrutura fractal ao longo de uma certa gama de escalas. Se se olhar para ela como um todo, vê-se o tronco principal e os ramos menores que partem dele. Se se olhar para um desses ramos menores vê-se essencialmente a mesma coisa, outros ramos ainda menores que partem do anterior. Outro exemplo é a linha de costa de um país. Se for vista numa carta de 1/100 000, é possível observar inúmeras baías e penínsulas. Numa carta de 1/10 000 passa a ser possível observar muitas mais sub-baías e subpenínsulas de uma parte dessa linha de costa. Numa carta de 1/1000 vê-se que troços aparentemente 'lisos' à escala anterior possuem por sua vez o mesmo tipo de estutura. No caso dos fractais naturais, não é possível prosseguir indefinidamente, e portanto estes não são fractais no sentido rigoroso do termo, tal como também não há nas formas naturais esferas ou planos.
Neste módulo vão ser apresentados três métodos distintos de criação de fractais.
O primeiro método é a recursão geométrica : repetindo indefinidamente uma regra de construção simples obter-se-á um objecto com uma estrutura não trivial a todas as escalas e auto-semelhança exacta mediante rescalamento.
No segundo programa mostra-se como formas fractais podem também surgir como conjuntos atractores (atractores estranhos) de uma dinâmica não linear. O famoso atractor de Lorenz pertence a esta família de fractais, que, no sentido em que as equações que os geram modelam certos fenómenos, são também fractais naturais.
Um terceiro método de obtenção de figuras fractais utiliza regras que, ao contrário dos exemplos anteriores, que são totalmente deterministas, envolvem elementos de aleatoriedade. Tomaremos como exemplo deste tipo de regras a marcha aleatória.
Finalmente, o último programa introduz o conceito de dimensão fractal e apresenta um método de caracterização dos objectos fractais baseado no cálculo da chamada 'dimensão de contagem de blocos'.

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Referências

http://classes.yale.edu/Fractals/
http://mathworld.wolfram.com/StrangeAttractor.html
Sprott, J. C. Strange Attractors: Creating Patterns in Chaos. New York: Henry Holt, 1993a.

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