globals [ tempo media ] turtles-own [ distancia ] to preparar ca set tempo 0 create-custom-turtles numero-de-abelhas [ set heading 90 set shape "bee" set size 15 pd ] if limite? [ ask patches with [ raio-limite = int distancexy 0 0 ][ set pcolor 3 ] ] end to executar set media 0 ask turtles [ ifelse dimensao = 1 [ rt 180 * (random 2) ][ rt 90 * (random 4) ] fd tamanho-do-lado set distancia distancexy 0 0 set media media + distancia * distancia if limite? and distancia >= raio-limite [ die stop ] ] set tempo tempo + 1 set media media / numero-de-abelhas ifelse count turtles = numero-de-abelhas [ plot media ][stop] end ; Versão Prisma Copyright 2007, Centro de Física Teórica e Computacional @#$#@#$#@ GRAPHICS-WINDOW 340 10 761 452 205 205 1.0 1 10 1 1 1 0 1 1 1 -205 205 -205 205 CC-WINDOW 5 466 770 561 Command Center 0 BUTTON 166 10 334 49 NIL executar T 1 T OBSERVER T NIL SLIDER 166 55 334 88 tamanho-do-lado tamanho-do-lado 1 10 1 1 1 NIL BUTTON 1 10 160 49 NIL preparar NIL 1 T OBSERVER T NIL SLIDER 1 55 160 88 numero-de-abelhas numero-de-abelhas 1 100 1 1 1 NIL SLIDER 196 95 335 128 raio-limite raio-limite 0 200 200 1 1 NIL SWITCH 100 95 190 128 limite? limite? 0 1 -1000 PLOT 1 134 336 452 Distância Quadrática Média tempo quadrado da distancia 0.0 100.0 0.0 100.0 true false SLIDER 1 95 93 128 dimensao dimensao 1 2 2 1 1 NIL @#$#@#$#@ INTRODUÇÃO ---------- Matematicamente, a marcha aleatória traduz a ideia de uma trajectória composta por passos consecutivos, cada um dado numa direcção aleatória. A marcha aleatória é um processo estocástico simples com aplicações em campos muito diversos, que vão desde: a física, modelizando o movimento aleatório de partículas microscópicas imersas num fluido composto por moléculas muito mais pequenas - fenómeno conhecido como movimento browniano; à economia, o exemplo simples do jogo da moeda ao ar pode ser visto como a marcha aleatória num espaço a 1 dimensão; passando pela biologia, propagação de estímulos dentro do cérebro; etc. Neste programa, pretende-se estudar a marcha aleatória numa rede regular bidimensional. Partindo de um ponto inicial, cada passo tem um comprimento constante lp, e só 4 direcções aleatórias - norte, sul, este e oeste são permitidas. Uma das características principais da marcha aleatória vai ser aqui colocada em evidência. Em média, o número de passos necessários para que a trajectória atinja uma circunferencia de raio r (a partir do seu centro) é N=(r/lp)^2 (1). Esta relação está também presente nos fenómenos de difusão de partículas em fluidos, se admitirmos que N é proporcional ao tempo decorrido. A título de curiosidade podemos mencionar que Eistein (no ano milagroso de 1905) utilizou a teoria cinética de fluidos para calcular a constante de proporcionalidade entre o tempo e a distância quadrática percorrida, em termos de constantes fundamentais das partículas e do fluido. Pouco mais tarde, a relação de Einstein permitiu a Perrin determinar experimentalmente o número de Avogadro. A relação (1) é indicativa que a trajectória percorrida, apesar da sua forma complexa, tem na verdade dimensão 2 - a dimensão de uma área. No entanto, o número de pontos da fronteira da mesma trajectória são em média proporcionais a r^(4/3), um facto previsto por Mandelbrot através de simulações numéricas e provado rigorosamente apenas em 2001. Neste programa, poder-se-á visualizar a complexidade da fronteira da trajectória da marcha aleatória numa rede regular bidimensional, que tal como os fractais geométricos e os atractores estranhos, exibem uma estrutura não trivial em escalas cada vez mais pequenas, e com uma dimensão fractal não inteira. UTILIZAÇÃO ---------- Para inicializar o programa de marcha aleatória, deve em primeiro lugar seleccionar o número de turtles ("ntartarugas") que vão executar as trajectórias, todas a partir do mesmo ponto central inicial. Pode ainda seleccionar o comprimento do passo da rede bidimensional ("passos") da marcha aleatória. Se quiser que as trajectórias parem ao atingir uma determinada circunferência limite, deve colocar o botão "limite?" em "on" e definir o raio da circunferência desejado ("raio-limite"). Caso contrário, se quiser que as trajectórias continuem indefinidamente, basta colocar o botão "limite?" em "off". Depois de ter escolhido todos estes parâmetros, deve seleccionar "Preparar" e finalmente "Iniciar/Parar" para começar o procedimento da marcha aleatória. No gráfico pode visualizar a distância (em relação ao ponto inicial central) quadrática média de todas as trajectórias (cujo número foi definido em ntartarugas) em função do número de passos ou iterações. Se "limite?=on", cada uma das trajectórias é interrompida no momento em que atinge a circunferência limite. O gráfico da distância quadrática média deixa de ser actualizado assim que a primeira tartaruga é eliminada. Por fim, depois de todas as turtles terem sido eliminadas, o programa pára e o número médio de iterações necessário para atingir a circunferência é indicado automaticamente no "Command Center". É possível visualizar a forma da fronteira da(s) trajectória(s) com o botão "Seleccionar Fronteira". A imagem final pode ser gravada seleccionando "Exportar Mundo", e poderá ser analisada posteriormente no programa "calcula-dimensao.nlogo". QUESTÕES -------- 1. Escolha um pequeno número de turtles (cada uma desenhará uma trajectória diferente) e um grande raio limite. Observe a evolução da distância quadrática média no gráfico. Compare com a evolução esperada. Aumente o número de tartarugas e comente os novos resultados obtidos. 2. Qual seria a evolução esperada, não para a distância quadrática mas para a abcissa quadrática média das trajectórias, ? 3. Escolha um grande número de tartarugas e diferentes passos/raios-limite. Corra o procedimento de marcha aleatória até todas as tartarugas serem eliminadas. Qual é em média o número de iterações necessário para atingir a circunferência limite que espera encontrar ? Compare com o resultado obtido, indicado na janela "Command Center" assim que o programa termina. (Sugestão: para acelerar as trajectórias clique no botão "on/off" do ecrã de visualização - as trajectórias deixam de ser actualizadas no ecrã.) 4. Com "limite?=off", uma só tartaruga e passo=1, correspondente à resolução máxima do ecrã, corra o procedimento de marcha aleatória durante algum tempo, de modo a obter uma imagem razoavelmente preenchida. Comente a estrutura final obtida à luz dos conceitos introduzidos neste módulo "Fractais". Comente também a estrutura da fronteira da trajectória (utilize o botão "Seleccionar Fronteira"). 5. Com base na questão anterior, estime a probabilidade que uma dada casa da rede tem de permanecer para sempre livre do percurso da marcha aleatória. Justifique. VARIANTES E EXTENSÕES --------------------- Faça uma análise estatística mais detalhada da marcha aleatória, incluindo a observação da média das trajectórias, desvio padrão, etc. Implemente e analise as extensões mais conhecidas da marcha aleatória: marcha aleatória sem auto-intersecção ("self avoiding random walk"); marcha aleatória sem regresso ("no returning random walk"); etc. REFERÊNCIAS ----------- http://mathworld.wolfram.com http://scienceworld.wolfram.com @#$#@#$#@ default true 0 Polygon -7500403 true true 150 5 40 250 150 205 260 250 link true 0 Line -7500403 true 150 0 150 300 link direction true 0 Line -7500403 true 150 150 30 225 Line -7500403 true 150 150 270 225 ant true 0 Polygon -7500403 true true 136 61 129 46 144 30 119 45 124 60 114 82 97 37 132 10 93 36 111 84 127 105 172 105 189 84 208 35 171 11 202 35 204 37 186 82 177 60 180 44 159 32 170 44 165 60 Polygon -7500403 true true 150 95 135 103 139 117 125 149 137 180 135 196 150 204 166 195 161 180 174 150 158 116 164 102 Polygon -7500403 true true 149 186 128 197 114 232 134 270 149 282 166 270 185 232 171 195 149 186 Polygon -7500403 true true 225 66 230 107 159 122 161 127 234 111 236 106 Polygon -7500403 true true 78 58 99 116 139 123 137 128 95 119 Polygon -7500403 true true 48 103 90 147 129 147 130 151 86 151 Polygon -7500403 true true 65 224 92 171 134 160 135 164 95 175 Polygon -7500403 true true 235 222 210 170 163 162 161 166 208 174 Polygon -7500403 true true 249 107 211 147 168 147 168 150 213 150 arrow true 0 Polygon -7500403 true true 150 0 0 150 105 150 105 293 195 293 195 150 300 150 bee true 0 Polygon -1184463 true false 152 149 77 163 67 195 67 211 74 234 85 252 100 264 116 276 134 286 151 300 167 285 182 278 206 260 220 242 226 218 226 195 222 166 Polygon -16777216 true false 150 149 128 151 114 151 98 145 80 122 80 103 81 83 95 67 117 58 141 54 151 53 177 55 195 66 207 82 211 94 211 116 204 139 189 149 171 152 Polygon -7500403 true true 151 54 119 59 96 60 81 50 78 39 87 25 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