Modelos de percolação e fogos florestais

Outros modelos de percolação

Qual é a probabilidade de escoamento de um fluido através de um meio poroso? Apesar de existirem materiais com porosidades que variam continuamente, a resposta é um ou zero: Os materiais são permeáveis ou impermeáveis. De facto, existe um valor da porosidade que separa os materiais permeáveis dos impermeáveis. Como a mudança de comportamento é rápida dizemos que existe uma transição de percolação, pois esta fornece um modelo adequado para estudar este problema.

Existem vários modelos (ou classes) de percolação. Aqui, vamos introduzir os modelos de percolação de ligações e de percolação contínua.

Percolação de ligações

O modelo da percolação de ligações é muito semelhante ao modelo de percolação de sítios. Numa rede quadrada, estabelecem-se ligações entre os nós de uma forma aleatória, com probabilidade p. A desordem é modelada pela aleatoriedade e p mede a porosidade do meio. O estabelecimento de uma ligação permite a passagem do fluido e o escoamento ocorre se e só se existir um agregado de percolação.

No sistema infinito existem dois regimes, separados por um valor crítico da probabilidade, p_c. O modelo pode ser simulado numericamente como no caso anterior, mas o seu comportamento qualitativo pode ser apreciado recorrendo à figura da direita.

Na figura está montado um circuito no qual, para que possa circular corrente é necessário que exista uma ligação entre as duas extremidades da rede metálica, isto é, é necessário que exista um agregado de percolação. Se p for a fracção de ligações não cortadas, conforme o modelo de percolação existe uma fracção p_c a partir da qual a corrente não é nula, tal como mostra o gráfico. Quanto maior for a rede, melhor definido será este valor.

Outro exemplo pode ser construído com peças de dominó. Se se colocarem nas ligações de uma rede, peças de dominó com uma probabilidade p, de tal forma que se os dominós de uma ligação tombarem, tombam também os das suas ligações vizinhas, podemos ter 3 regimes distintos: quando p < p_c, ocorrem apenas pequenas avalanches, uma vez que há poucos dominós, quando p = p_c, estamos no limiar de percolação, em que ocorrem avalanches em todas as escalas, evidência da dimensão fractal do agregado de percolação, quando p > p_c, quase todos os dominós pertencem ao agregado de percolação. No módulo pilhas de areia e autoorganização crítica pode encontrar figuras destes 3 regimes.

Percolação contínua

Na percolação contínua, os componentes não estão constrangidos a ocupar posições numa rede regular e as ligações fazem-se num meio contínuo. Aqui, à semelhança dos outros modelos de percolação, queremos saber:
1. Quando se forma um agregado de percolação ?
2. Qual é a estrutura desse agregado ?

Vamos tentar obter a resposta com uma experiência simples. Encha um boião com uma mistura de turfa (ou areia) e bolas de plástico (ou esferovite) como mostra a figura.

Na figura da esquerda as bolas de plástico estão misturadas com a turfa e distribuem-se uniformemente no interior do boião. Agite o boião e observe que as bolas se reorganizam, acumulando-se à superfície, como mostra a figura da direita.
Porquê?

Trata-se de percolação contínua. Ao agitar o boião, os grãos de turfa ‘fluem’, sob a acção da gravidade, pelos espaços livres que existem entre as bolas. As bolas, por sua vez, não cabem nos espaços entre os grãos de turfa e são empurradas para a superfície.

Existe um limiar ou transição de percolação? Note que o efeito não ocorre para um número suficientemente pequeno de bolas. Neste regime, as bolas são envolvidas completamente pela turfa e não existem espaços livres entre as bolas impedindo a turfa de fluir, sob a acção da gravidade, quando o balão é agitado. Existe portanto uma fracção (volúmica) de bolas a partir da qual se forma uma estrutura suficientemente ‘esburacada’ para que o efeito ocorra. Esta fracção joga um papel análogo ao limiar de percolação que encontrámos nos modelos anteriores.