Simulação da pigmentação da pele dos animais: Modelo de Murray

O applet implementa num autómato celular as regras do modelo de Murray. Na rede quadrada cada quadrado representa um pigmento do embrião que pode estar num dos dois estados definidos pelo modelo:

  • D (diferenciado), células brancas, são estas que produzem os dois morfogenes I e A.
  • U (indiferenciado), células pretas.
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Funcionamento do modelo

Cada célula, no decorrer da simulação, actualiza o seu estado consoante as concentrações de activador A e inibidor I. Como vimos, estas dependem da distância à célula que as libertou e é precisamente esta dependência que definie o padrão resultante. Para cada célula é definido pelo o utilizador um raio exterior, outer-radius, segundo as direcções x e y, e um raio interior, inner-radius, segundo as mesmas direcções. Estes raios definem as vizinhanças dentro das quais uma célula diferenciada pode influenciar directamente a célula ao centro. O raio interior define a vizinhança na qual as células D contribuem com activador A, o raio exterior define o anel cujas células D contribuem com inibidor I. Assim, a cada passo, para cada célula, é calculado o balanço entre activador e inibidor somando o número de células na sua vizinhança que contribuem com activador e o número de células que contribuem com inibidor. O número de inibidoras é ainda multiplicado pelo valor do parâmetro ratio, definido pelo utilizador, que representa um factor adicional de competição entre os dois morfogenes. Por exemplo, se ratio = 0,35 então o inibidor é 35% mais fraco que o activador.

Resumindo, em cada passo, para cada célula, o modelo segue as seguintes regras:

  1. Conta o número de células diferenciadas D1 dentro do inner-radius e calcula a concentração de activador, D1*A.
  2. Conta o número de células diferenciadas D2 dentro do anel formado pelo raio interior e exterior e calcula a concentração de inibidor, D2*I. Multiplica ainda este valor pelo parâmetro ratio que mede a força relativa dos dois morfogenes.
  3. De seguida calcula: D1*A - D2*I*(ratio)
    • Se o resultado for > 0, o activador é predominante e a célula central passa para o estado D.
    • Se o resultado for < 0, o inibidor é predominante e a célula central passa para o estado U
    • Se o resultado for = 0, a célula central permanece inalterada.

Funcionamento do applet

O applet tem 6 parâmetros que podem ser ajustados:

  • inner/outer-radius-x/y - Como já referimos estes 4 parâmetros estabelecem as regras de difusão do inibidor I e do activador A
  • initial-density - Este parâmetro define a densidade inicial de células diferenciadas. Se estiver a 50% cada célula será inicialmente preta ou branca com igual probabilidade.
  • ratio - Este parâmetro define a força relativa entre inibição e activação.

Clicando no botão step o applet executa um passo apenas, isto é, uma única actualização do estado das células. Clicando em go, o applet executa passos sucessivamente até clicar de novo para parar. Sempre que reajustar os slides relativos aos raios prima setup, mas se pretender fazer alterações apenas nos outros dois cursores, basta clicar em restart (esta indicação é particularmente importante, porque quando se carrega em setup o programa, demora algum tempo a estabelecer as vizinhanças de cada célula).

À medida que modelo corre pode emergir um padrão, que acaba por estabilizar, e neste caso as células não mudam mais de estado, ou, nalguns casos, pode entrar num regime periódico em que o estado de algumas células oscila permanentemente entre as duas cores.

Sugestões

sugestão 1:

  • inner-radius-x: 3
  • inner-radius-y: 3
  • outer-radius-x: 6
  • outer-radius-y: 6
  • initial-density: 50%
  • ratio: 0.35

sugestão 2:

  • inner-radius-x: 1
  • inner-radius-y: 8
  • outer-radius-x: 3
  • outer-radius-y: 10
  • initial-density: 50%
  • ratio: 0.35

Que padrão observa em cada um dos casos? Porque é que modificando os raios os padrões são diferentes?

Este modelo ajuda-nos a perceber como é que o mesmo mecanismo pode ser responsável pela pelagem de animais com padrões tão diferentes, como as riscas dos tigres ou as pintas do leopardo. Mais ainda, permite perceber porque é que diferentes indivíduos da mesma espécie não têm padrões exactamente iguais: - Apesar de as regras serem as mesmas, a distribuição inicial de células com pigmento no estado D é diferente para cada indivíduo.