Modelo de Ising

Para sistemas na mesma classe de universalidade, os expoentes e as funções de escala são os mesmos na vizinhança do ponto crítico. Podemos, portanto, usar modelos mínimos para estudar um determinado tipo de criticalidade. O problema reside então na identificação dos sistemas que pertencem a uma determinada classe.

O modelo de Ising é um destes modelos mínimos que descreve o comportamento de sistemas de elementos individuais (átomos, moléculas, spins) que alteram o seu estado de acordo com o estado dos vizinhos. Por exemplo, se interpretarmos o modelo como um sistema de spins (a variável associada a cada sítio da rede toma os valores +1 ou -1), este descreve o ferromagnetismo (o ferro, por exemplo, exibe este tipo de comportamento) onde existe uma temperatura crítica (chamada temperatura de Curie), abaixo da qual existe uma magnetização espontânea e acima da qual os spins estão distribuídos aleatoriamente na rede e a magnetização espontânea desaparece.

Para facilitar a visualização deste modelo, apresentamos a sua versão bidimensional no applet seguinte. Vejamos os detalhes:

  • Cada quadradinho representa um dos dois estados possíveis de spin Si = ±1 (azul/branco).
  • A energia é calculada através da fórmula: E = -∑(i,j) SiSj, onde (i,j) simboliza todos os pares de spins adjacentes da rede.
  • Quando a temperatura é infinita, a energia por spin (E / N, onde N = L2 é o número de spins) é zero. Quando a temperatura é zero, todos os spins estão paralelos e a energia por spin é -2.
  • No applet a temperatura pode ser mudada no termómetro, ajustando-a com o rato, ou escrevendo-a na caixa Temperature.
  • A temperatura crítica do modelo bidimensional é Tc = 2 / ln(1 + √2) ≈ 2.269.
  • A magnetização é simplesmente a média de todos os spins.
If your browser had java you would see an Ising simulation here.

Usando o applet anterior podemos observar o seguinte:

  1. Para temperaturas bastante acima da temperatura crítica, o arranjo de spins converge para uma arranjo aleatório, independentemente do estado inicial ser: "Init cold" (T = 0), "Init warm" (T = Tc) ou "Init hot" (T = ∞). Para o verificar seleccione qualquer um dos estados anteriores e carregue em "start".
  2. Se iniciar o modelo abaixo da temperatura crítica com a condição inicial "Init cold" (i.e. Si = -1, para todos os i), verificará que apenas aparece uns pequenos agregados de spin azul (i.e. Si = +1) e que existe uma magnetização líquida negativa. Se, ao invés, tivesse iniciado todos os spins com Si = +1 (azul), então teria uma magnetização líquida positiva. Verifica assim que abaixo da temperatura crítica existem dois estados termodinâmicos (o spin up, com magnetização positiva e o spin down, com magnetização negativa) e que o sistema permanece num ou noutro conforme a condição inicial.
  3. Se iniciar o modelo abaixo da temperatura crítica com as condições iniciais "Init warm" or "Init hot", verifica que inicialmente o sistema não se decide por um estado em particular, mas se esperar algum tempo, um dos estados acabará por ganhar. Qual deles, depende das flutuações térmicas tendo ambos igual probabilidade de prevalecer.
  4. Para temperaturas próximas da temperatura de transição, aparecem grandes agregados de spins com a mesma orientação que flutuam muito devagar. Esta é uma consequência da divergência do comprimento de correlação dos sistemas críticos no limite termodinâmico.