O conjunto de Mandelbrot

O conjunto de Mandelbrot é um fractal particularmente interessante que se tornou popular fora da matemática devido à sua beleza estética e ao facto da sua estrutura complexa resultar de um algoritmo de construção simples.

Matematicamente, o conjunto de Mandelbrot, é o conjunto dos parâmetros c para os quais a "órbita" do ponto 0 por ƒc ( isto é, o conjunto das iteradas {ƒc(0), ƒcοƒc(0), ƒcοƒcοƒc(0), ...}) é limitado, onde ƒc é a função:

f_c : \mathbb{C} \o \mathbb{C}; z \mapsto z^2+c.

definida no plano dos números complexos. O leitor para quem esta nomenclatura não é familiar pode pensar um número complexo como um ponto do plano, tal como um número real corresponde a um ponto da recta. Apesar da terminologia intimidante, os números complexos são apenas isto (juntamente com as regras de adição e multiplicação). Por outras palavras, o conjunto de Mandelbrot é o conjunto dos valores de c para os quais a sucessão de pontosƒcn(0) não tende para o infinito do plano complexo .

Na prática para saber se ƒcn(0) → ∞, basta verificar se existe um inteiro n para o qual ƒcn(0) cai fora do círculo de raio 2 centrado na origem. No seguinte diagrama encontra-se uma representação gráfica do conjunto de Mandelbrot (região a preto):

Conjunto de Mandelbrot.

Normalmente o conjunto de Mandelbrot costuma aparecer de uma forma mais colorida, o que se faz usando um código de cores que representa a iterada n a partir da qual ƒcn(0) cai fora do círculo de raio 2, representando-se os restantes pontos a preto. Na figura seguinte vemos um exemplo por um código de cores possível:

Conjunto de Mandelbrot.
Conjunto de Mandelbrot. Cortesia de Wolfgang Beyer.

O objecto fractal é a fronteira do conjunto de Mandelbrot, uma curva tão complicada que tem dimensão fractal 2, como foi demonstrado recentemente. Portanto também existem fractais de dimensão inteira! O vídeo seguinte ilustra os requintados detalhes do conjunto de Mandelbrot assim como a auto-semelhança estatística deste.